【市販の過去問にない】2022年東邦大東邦中（後期）算数・全問解説：難問を粉砕する「変換処理」の型

2026年4月29日

東邦大付属東邦中学校・後期入試の算数は、天性のひらめきや計算の体力を競うものではない。与えられた複雑な条件から不要な情報を削ぎ落とし、自分が処理しやすい形へと「変換」する、情報処理能力のテストである。

「じっくり図を描いて考えよう」「気合で最後まで書き出して調べよう」といった通説は、同校の入試においては後半の難問に使う時間を失う要因となり得る。客観的なデータに基づき構造を分析すれば、難問は小学6年生が本番で実行可能な「変換作業」に置き換えられる。

本記事では、市販の過去問集では詳しい解説が省略されている2022年度後期入試の全貌を分析し、無駄を省いた合理的な手順を公開する。

1. 東邦大東邦中算数（2022年後期）解法分析・データベース

当研究所が全設問の構造を分解し、間違えやすいポイントと、それに対する戦略的な「型」を整理したものである。

大問	分野	問題の仕掛け（構造）	初手の手順（型）	つまずく原因
1	計算	小数・分数が入り乱れる四則演算と逆算	分数への統一とブロック化	基礎。$5.75$ や $1.25$ を即座に分数へ変換し、ブレを防ぐ。
2-(1)	集合	3つの集合のベン図（兄・姉の有無）	ベン図の領域確定	基礎。全体から「どちらもいない」を引き、重なりを論理的に出す。
2-(2)	図形	三角形内の相似と未知の辺（●印の角）	相似の発見と連比の数式処理	難。$\triangle ABC \sim \triangle DEC$ を見抜き、数式を立てる。
2-(3)	整数	「わりあま」の基本（7で6余り、13で8余る）	余りの周期と公倍数	標準。最初の共通する数を見つけ、最小公倍数で拡張する。
2-(4)	割合	水量と濃度変化（3容器に同じ食塩を追加）	食塩一定からの水量の逆算	差がつく。追加した食塩を文字で置き、水量を逆算して比をとる。
3	割合	グループの平均点（つるかめ算の応用）	合計点の方程式としぼり込み	やや難。式の変数を整理し、倍数の条件から答えを絞り込む。
4	図形	三角形内の面積等分と線分の比	面積からの底辺比の逆算	差がつく。面積が同じ＝底辺の比がわかる、という逆転の視点。
5	規則性	100枚のカード裏返し（約数の個数）	平方数の特定	差がつく。奇数回裏返る（＝色が変わる）のは「平方数」だけという定石。
6	立体	直方体に巻き付ける2本の糸の交点と切断	展開図の直線化	難問。立体を頭の中で回さず、展開図上の直線として計算処理する。
7	場合の数	円卓の移動パズル（サイコロと移動）	ターンごとのパターン集計	難。樹形図で混乱せず、「各場所にいるパターン数」を集計する。

2. 詳細分析：全問を「作業」で解くための変換手順

第一志望層が直面する壁に対し、当研究所が処方する具体的な手順を「全問」解説する。見直しがしやすいよう、各大問の冒頭に最終的な解答を明記している。

【大問1】計算の変換処理

【解答】 (1) $\frac{3}{8}$　(2) $32$

決定ルール：小数は分数に統一し、式のカタマリ（ブロック）を意識して逆算せよ。
手順：(1) 小数を分数に統一する。$5.75 = 5\frac{3}{4} = \frac{23}{4}$、$1.5 = \frac{3}{2}$。式は $\frac{23}{4} \div ( \frac{7}{3} + \frac{3}{2} ) \times ( \frac{3}{2} – \frac{5}{4} )$ となる。カッコ内を計算すると、$\frac{23}{4} \div \frac{23}{6} \times \frac{1}{4}$。割り算を掛け算に直し、$\frac{23}{4} \times \frac{6}{23} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{16} = \mathbf{\frac{3}{8}}$。(2) 左辺のカッコ内を計算する。$\frac{1}{3} + \frac{1}{5} = \frac{8}{15}$。$\frac{1}{5} + \frac{1}{6} = \frac{11}{30}$。左辺は $\frac{8}{15} \div \frac{11}{30} = \frac{8}{15} \times \frac{30}{11} = \frac{16}{11}$。つまり、右辺は $\frac{\square}{\square – 10} = \frac{16}{11}$ という構造になる。分数の分子と分母の「差」に注目する。右辺の分数の差は $\square – (\square – 10) = 10$ である。一方、$\frac{16}{11}$ の分子と分母の差は $16 – 11 = 5$ である。差を「10」にそろえるため、分母・分子を2倍すると $\frac{32}{22}$ となる。分子の $\square$ は 32 で確定する。

【大問2】小問集合（情報の整理と変換）

【解答】 (1) $4\text{人}$　(2) $8\text{cm}$　(3) $125$　(4) $49:24:19$

(1) ベン図の領域確定

決定ルール：重なりを求める問題は、全体から「どちらでもない」部分を引いて考えよ。
手順： 40人のうち、兄も姉もいない生徒が6人。したがって、「兄か姉の少なくとも一方がいる生徒」は $40 – 6 = 34$人である。兄がいる生徒（16人）と姉がいる生徒（22人）を足すと $16 + 22 = 38$人になる。この合計と実際の人数との差が「両方いる生徒（重なり）」であるため、$38 – 34 = \mathbf{4\text{人}}$。

(2) 三角形内の相似と数式処理

決定ルール：共通の角と等しい角を見つけ、相似な三角形の辺の比を数式にせよ。
手順： 図形を観察すると、$\angle B$ と $\angle CDE$ に●印がついている（$\angle B = \angle CDE$）。さらに $\angle C$ は共通であるため、$\triangle ABC$ と $\triangle DEC$ は相似（$\triangle ABC \sim \triangle DEC$）であることがわかる。対応する辺の比をとる。$AB:DE = 15:6 = 5:2$。したがって、$BC:EC$ も $5:2$ となる。求める $EC$ の長さを $x$ と置くと、$BC = 12 + x$ と表せる。$(12 + x) : x = 5:2 \implies 2 \times (12 + x) = 5x \implies 24 + 2x = 5x \implies 3x = 24 \implies x = \mathbf{8\text{cm}}$。見た目にだまされず、代数処理に落とし込むことで一撃で解ける。

(3) 「わりあま」の公倍数処理

手順： 7で割ると6余る数：13, 20, 27, 34, 41…13で割ると8余る数：21, 34…最初に共通して現れる数は「34」である。次から現れる数は、7と13の最小公倍数である「91」を足していけばよい（$34 + 91 \times n$）。最も小さい3けたの整数は、91を1回足した $34 + 91 = \mathbf{125}$ となる。

(4) 食塩一定からの逆算

決定ルール：加えた食塩の量が同じなら、食塩の量を文字で置き、全体の重さを逆算せよ。
手順： 3つの容器に加えた同じ重さの食塩を $S$ と置く。それぞれの濃度が 2%、4%、5% になったということは、食塩水全体の重さは以下のように表せる。Aの全体 $= S \div 0.02 = 50 \times S$Bの全体 $= S \div 0.04 = 25 \times S$Cの全体 $= S \div 0.05 = 20 \times S$初めに入っていた水の量は、全体の重さから食塩 $S$ を引いたものである。Aの水 $= 50S – S = 49S$Bの水 $= 25S – S = 24S$Cの水 $= 20S – S = 19S$したがって、初めの水の量の比は $\mathbf{49:24:19}$ となる。

【大問3】グループの平均点（方程式への変換）

【解答】 (1) $24\text{人}$　(2) $20\text{人}$

決定ルール：平均点の人数問題は、合計点の式を作り、倍数などの条件で答えを絞り込め。
手順： 36人の平均点は60点。合計点は $36 \times 60 = 2160$点である。(1) 50点のグループと65点のグループに分ける。面積図やてんびん法を使う。50点は平均(60)から10点離れており、65点は5点離れている。距離の比が $10:5 = 2:1$ なので、人数の比は逆比の $1:2$ となる。全体36人を $1:2$ に分けるため、65点のグループは $36 \times \frac{2}{3} = \mathbf{24\text{人}}$。(2) 52点、56点、65点の3グループに分ける。それぞれの人数を $x, y, z$ と置く（求めるのは $z$）。人数の式：$x + y + z = 36$合計点の式：$52x + 56y + 65z = 2160$変数を減らすため、$z = 36 – x – y$ を合計点の式に代入し、整理する。$52x + 56y + 65(36 – x – y) = 2160 \implies 52x + 56y + 2340 – 65x – 65y = 2160 \implies 13x + 9y = 180$。ここから論理で絞り込む。$9y$ は9の倍数、$180$ も9の倍数である。したがって、$13x$ も9の倍数でなければならない。$x$ は9の倍数（9, 18…）に確定する。$x=9$ のとき、$117 + 9y = 180 \implies 9y = 63 \implies y=7$。このとき $z = 36 – 9 – 7 = \mathbf{20\text{人}}$。($x=18$ になると $13 \times 18 = 234$ となり、180を超えてしまうため不可。)手作業の当てはめを数式と論理で効率化する手法である。

【大問4】三角形内の面積等分

【解答】 (1) $1:2$　(2) $6:5$

決定ルール：面積が同じという条件は、共通部分を足して等積変形し、面積比から底辺の比を逆算せよ。
手順：(1) $\triangle APN$ の面積と四角形 $MBQP$ の面積が等しい。両辺に共通の $\triangle APM$ を足すと、$\triangle AMN = \triangle ABQ$ となる。$\triangle AMN$ の面積は、全体の $\triangle ABC$ の $\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ である。つまり、$\triangle ABQ$ も全体の $\frac{1}{3}$ になる。$\triangle ABQ$ と $\triangle ABC$ は頂点Aからの高さが共通なので、面積の比がそのまま底辺の比になる。底辺 $BQ$ は $BC$ の $\frac{1}{3}$ であるため、$BQ:QC = \mathbf{1:2}$ となる。(2) $\triangle AMN$ と $\triangle MQN$ の面積比を求める。この2つの三角形は底辺 $MN$ を共有しているため、面積比は「点Aから直線MNまでの高さ」と「点Qから直線MNまでの高さ」の比になる。これは線分比 $AP:PQ$ と等しいが、ここでは面積の引き算を使ってそのまま処理する。$\triangle AMQ$ の面積は、$\triangle ABQ$ の半分（$AM:MB=1:1$）なので、全体の $\frac{1}{6}$。$\triangle ANQ$ の面積は、$\triangle ACQ$ （全体の$\frac{2}{3}$）の $\frac{2}{3}$ （$AN:NC=2:1$）なので、全体の $\frac{4}{9}$。 $\triangle MQN$ の面積は、四角形 $AMQN$ から $\triangle AMN$ を引いて求める。四角形 $AMQN = \triangle AMQ + \triangle ANQ = \frac{1}{6} + \frac{4}{9} = \frac{11}{18}$。 $\triangle MQN = \frac{11}{18} – \frac{1}{3} (\triangle AMN) = \frac{5}{18}$。よって、$\triangle AMN : \triangle MQN = \frac{1}{3} : \frac{5}{18} = \frac{6}{18} : \frac{5}{18} = \mathbf{6:5}$。大人の数学に頼らず、面積比の処理だけで完結させる。

【大問5】カードの裏返し（約数のパリティ）

【解答】 (1) $51\text{枚}$　(2) $8\text{回}$　(3) $90\text{枚}$

決定ルール：カードを裏返す操作は、「約数の個数」の問題へ置き換えよ。
手順： カードの番号が、操作の番号（倍数）で割り切れるときに裏返る。初めは赤。偶数回裏返ると「赤」、奇数回裏返ると「青」になる。(1) 操作1, 2, 3 を行う。まず、操作1で「1の倍数」、つまり100枚すべてのカードが必ず1回裏返り「青」になる。最終的に「赤」になる（裏返る回数が0回か2回）ためには、その後の操作2と3のうち「どちらか片方だけ」で裏返り、合計2回になる必要がある。つまり「2だけで割れる数」か「3だけで割れる数」を探す。2の倍数は50個。ここから両方で割れる6の倍数（16個）を引くと、2だけで割れるのは $50 – 16 = 34$個。3の倍数は33個。ここから6の倍数（16個）を引くと、3だけで割れるのは $33 – 16 = 17$個。合計 $34 + 17 = \mathbf{51\text{枚}}$。(2) 30という数字は、30の約数（1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30）の操作のときに裏返る。約数は全部で 8回（8個）である。(3) 操作100まで行った後、赤になる（約数の個数が偶数個）カードの枚数。通常、約数はペアになるため偶数個である。約数が奇数個になるのは、同じ数を2回掛けてできる「平方数」だけである。1から100までの平方数は、$1^2$ から $10^2$ までの10個。これらが奇数回裏返って青になるので、赤の枚数は $100 – 10 = \mathbf{90\text{枚}}$。

【大問6】空間図形（展開図の直線化）

【解答】 (1) $5\text{回}$　(2) $15\text{cm}^2$　(3) $80\text{cm}^3$

決定ルール：立体表面の糸の動きは、展開図を描いて平面上の直線のグラフとして処理せよ。
手順： 直方体の側面（幅 $4 \times 4 = 16$、高さ $12$）を展開図にして考える。糸Pは高さ12からスタートし、横に $16 \times 3 = 48$ 進む間に高さが0まで下がる直線。糸Qは高さ12からスタートし、逆向きに横に $16 \times 2 = 32$ 進む間に高さが0まで下がる直線。(1) 交わる回数。PとQが横方向に縮める「相対的な距離の和」は $48 + 32 = 80$ である。展開図において横幅16を進むということは、直方体の側面をちょうど1周して元の位置に戻ってくることを意味する。つまり、2本の糸が横方向に距離16を縮めるごとに、必ず1回交差する。よって $80 \div 16 = \mathbf{5\text{回}}$ と計算のみで出せる。(2) 側面AEFB上で、2周目のPとQに囲まれた面積を求める。Pは、横に48進む間に高さが12下がるため、横に4進むと高さが1下がる。側面AEFBを通過するとき、Pの高さは8から7へ下がる。Qは、横に32進む間に高さが12下がるため、横に4進むと高さが1.5下がる。Qの2周目が側面AEFBを通過するとき、高さは4.5から3へ下がる。囲まれた面積は、Pが作る台形の面積から、Qが作る台形の面積を引くことで求まる。Pの下の面積 $= (8+7) \times 4 \div 2 = 30$Qの下の面積 $= (4.5+3) \times 4 \div 2 = 15$$30 – 15 = \mathbf{15\text{cm}^2}$。(3) X, Y, Zを通る平面での切断。交点の高さを展開図から正確に割り出す。X（PがAEを最初に通過）の高さ $= 12 – 4 \times 1 = 8$。頂点Aからの距離 $AX = 12 – 8 = 4$。Y（QがBFを最初に通過）の高さ $= 12 – 4 \times 1.5 = 10.5$。頂点Bからの距離 $BY = 12 – 10.5 = 1.5$。Z（QがCGを最初に通過）の高さ $= 12 – 16 \times \frac{12}{32} = 6$。頂点Cからの距離 $CZ = 12 – 6 = 6$。切り口が平面になる直方体では、向かい合う辺の長さの和が等しくなる性質がある。$AX + CZ = BY + DW \implies 4 + 6 = 1.5 + DW \implies DW = 8.5$。求める体積は「断頭四角柱」となる。底面積 $\times$ 高さの平均で求まる。$4 \times 4 \times \frac{4 + 1.5 + 6 + 8.5}{4} = 16 \times 5 = \mathbf{80\text{cm}^3}$。頭の中で立体を回さず、平面上の計算として処理する。

【大問7】円卓の移動パズル（状態の集計）

【解答】 (1) $9\text{通り}$　(2) $74\text{通り}$

決定ルール：サイコロによる移動は樹形図を書かず、ターンごとの「各場所にいるパターン数」を足し合わせる計算に変換せよ。
手順：(1) 1回振って移動できる場所は、1から6までの目で決まる。Aからスタート：A(4の目:1通り), B(1,5の目:2通り), C(2,6の目:2通り), D(3の目:1通り)。2回振ってAに戻るには、1回目のそれぞれの場所から「Aに戻れる目の数」を掛け合わせる。(Aにいる1通り $\times$ Aに戻る1通り) + (Bにいる2通り $\times$ Aに戻る1通り) + (Cにいる2通り $\times$ Aに戻る2通り) + (Dにいる1通り $\times$ Aに戻る2通り)$= 1 + 2 + 4 + 2 = \mathbf{9\text{通り}}$。(2) 3回振って「一度もCに座らない」。これは、Cに行くパターンを0通りとして消滅させ、ターンごとにA, B, Dにいるパターン数を集計していく作業に変換する。1回目後：A(1), B(2), D(1)。2回目後：各場所から移動するパターンを足す。Aへは、A(1 $\times$ 1) + B(2 $\times$ 1) + D(1 $\times$ 2) = 5通り。Bへは、A(1 $\times$ 2) + B(2 $\times$ 1) + D(1 $\times$ 2) = 6通り。Dへは、A(1 $\times$ 1) + B(2 $\times$ 2) + D(1 $\times$ 1) = 6通り。3回目後：Aへは、A(5 $\times$ 1) + B(6 $\times$ 1) + D(6 $\times$ 2) = 23通り。Bへは、A(5 $\times$ 2) + B(6 $\times$ 1) + D(6 $\times$ 2) = 28通り。Dへは、A(5 $\times$ 1) + B(6 $\times$ 2) + D(6 $\times$ 1) = 23通り。合計 $23 + 28 + 23 = \mathbf{74\text{通り}}$。単純な足し算の繰り返しに落とし込むことで、数え落としを完全に防ぐ。

3. 結論：東邦大東邦中の「型」と今後の対策

2022年度から2026年度までの分析を通して、東邦大東邦中の算数で求められる明確な基準が見えてくる。それは、気合で書き出したり、頭の中で立体を思い浮かべたりするような感覚的なアプローチが通用しにくく、事象を数式や面積比といった処理しやすい形へ置き換える能力が求められているということである。

【東邦大東邦中・算数攻略のチェックリスト】