【千葉県数学】確率は「計算」するな。「描けば」見える、合格への最短ルート（領域の翻訳テクニック）

「確率の問題で時間が足りなくなる」

「計算ミスで、取れるはずの点数を落とす」

もし君がそう悩んでいるなら、その原因は「計算力」ではない。「戦術」のミスだ。

千葉県公立入試、そして千葉大入試において、確率は「計算問題」ではない。「図形問題」である。

今回は、多くの受験生が泥沼にはまる「条件付き確率」を、一切計算せずに「お絵描き」だけで解くテクニックを伝授する。

1. 千葉県入試の「正体」

過去の傾向を見てほしい。

• 2016年（前期）： 座標がおうぎ形の内部にある確率
• 2024年： 原点からの距離が4cm以下になる確率

これらはすべて、数式（不等式）をこねくり回すのではなく、「グラフ用紙にコンパスや定規で線を引き、その内側にある点を数える」という作業を求めている。

出題者は君にこう問いかけているのだ。

「君は、この条件を『目に見える形』に翻訳できるか？」

2. 研究所流の解法

論より証拠。このオリジナル問題を見てほしい。（※配布PDFより抜粋）

【問題】

1から6までの目が出る大小2つのさいころを同時に投げ、大きいさいころの出目を $a$、小さいさいころの出目を $b$ とする。

座標平面上の点 $P$ の座標を $(a, b)$ とするとき、点 $P$ が、次の連立不等式の表す領域内（境界線を含む）にある確率を求めなさい。

$$条件：\begin{cases} b \leqq a + 2 \\ b \geqq -a + 5 \end{cases}$$

■ 一般的な受験生の思考

• 「不等式に代入して確かめなきゃ…」
• $a=1$ のとき… $b \leqq 3$ かつ $b \geqq 4$ だから…あれ？ない？
• $a=2$ のとき… $b \leqq 4$ かつ $b \geqq 3$ だから… $(2,3), (2,4)$ の2個？
• 結果： 条件整理でパニックになり、数え漏らしや計算ミスが多発する。

■ 研究所の思考

• 「これは計算問題ではない。面積の問題だ」と看破（翻訳）する。
• グラフ用紙に、右上がりの直線 $y=x+2$ と、右下がりの直線 $y=-x+5$ を引く。
• 「右上がりの線より下」かつ「右下がりの線より上」にあるエリア（交点より右側に広がる領域）を塗りつぶす。
• あとは、そのエリアに入っている「格子点（交点）」を目で見て数えるだけ。

【結論】

グラフを描けば、2本の直線に挟まれたエリアが浮かび上がる。

計算などしなくても、その中にある点は 24個 であることが一瞬でわかる。

よって、確率は $\frac{24}{36} = \frac{2}{3}$。

3. 「死角」を可視化せよ（応用編）

さらに、一見すると関数の難問に見えるこれも、グラフなら一撃だ。

【問題】

大小2つのさいころを同時に投げ、出た目を $(a, b)$ として点 $P$ をとる。

また、座標平面上に3点 $A(-1, 2), B(0, 4), C(4, 6)$ がある。

このとき、直線 $AP$ が、線分 $BC$（両端を含む）と交わる確率を求めなさい。

■ 一般的な受験生の思考

• 「直線の式を求めて、交点の座標を出して…」
• 「直線 $AP$ の傾きを $m$ として、それが点 $B$ と点 $C$ の傾きの間にあればいいのか？」
• 結果： 計算が複雑になり、試験時間を大幅に浪費する。

■ 研究所の思考

• 「点 $A$ から見て、点 $P$ が『 $B$ と $C$ の間』に見えればいい」と翻訳する。
• グラフ用紙上で、点 $A$ から点 $B$ を通る直線（上のライン）を引く。
• 点 $A$ から点 $C$ を通る直線（下のライン）を引く。
• この2本の直線の「間（はざま）」にある点を囲む。

【結論】

2本の直線の内側にある格子点を数え上げると、7個 しかないことが視覚的に確定する。

計算は一切不要。確率は $\frac{7}{36}$。

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▼ 【無料配布】この「視覚化テクニック」を習得する演習ドリル

上記2問の「書き込み用グラフ」と「ビジュアル解説図」を掲載した特製プリント（PDF）を用意した。

定規を片手に、以下のボタンからダウンロードして挑戦してほしい。

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