【千葉県数学】確率は「数え上げ」ではない。「3つの融合パターン」を見抜け

2025年12月5日2025年12月12日

数学の確率分野において、基本的な解法が「樹形図や表を使った数え上げ」であることに異論はない。しかし、千葉県公立入試の確率問題は、単なる数え上げで終わらせない、という明確な出題意図を持っている。

多くの都道府県で出題される「硬貨」「くじ」「金額」「並べ方」といった典型的な題材がほとんど出ず、サイコロやカードにテーマが偏りがちであるにもかかわらず、問題の難易度は高い。

その理由、そしてその合否を分ける出題の根幹は、常に他の単元の知識（関数、三平方、整数論、立体図形など）との融合にある。

確率の知識そのものよりも、その問題の「前提条件」を数学的に正確に処理する能力こそが問われているのだ。

今回は、合否を分ける難易度の高い「3つの融合パターン」を分析し、「数え漏れ」を防ぎ、確実に得点源とするための攻略法を提示する。

過去の千葉県入試問題を分析すると、高得点勝負の鍵となるパターンは、以下の3つの融合領域に集約される。

図形的な条件を「不等式」に翻訳せよ

大小2つのサイコロの目を $(a, b)$ として座標平面上の点をとる問題である。

このタイプで最も重要なのは、問題文にある図形的な条件を「数式（不等式）」に翻訳することだ。

例1：原点 $O$ からの距離 $OP$ が $4\text{cm}$ 以下となる確率→ これは、三平方の定理を用いて $OP = \sqrt{a^2 + b^2}$ であるため、$$a^2 + b^2 \leqq 4^2$$すなわち $a^2 + b^2 \leqq 16$ という不等式に翻訳できるかどうかが勝負となる。
例2：「点 $P$ がおうぎ形 $OAB$ の内部または周上にある確率」→ 点 $P(a, b)$ の原点からの距離が半径 $\sqrt{5^2+5^2}$ より小さくなるか等しくなるかという条件を瞬時に判断できるか。

条件さえ数式化できれば、あとは $a=1$ のとき、$a=2$ のとき……と代入して、条件を満たす $b$ を数え上げるだけの単純作業に持ち込める。

「積・和・商」が持つ倍数条件を絞り込め

カードやサイコロの目を使って数を作り、その性質を問う問題である。

（例：2数の積が3の倍数、 $\frac{b}{a}$ の値が整数、和が素数、平均値が自然数など）

ここで「全部書き出して調べる」のは悪手だ。数の性質を利用して、調べる対象を絞り込む必要がある。

戦略：余事象の活用「2枚のカードに書かれた数の積が、3の倍数になる確率」を求める場合、「少なくとも1枚が3の倍数」という条件を満たす組み合わせを直接数えるよりも、「両方とも3の倍数ではない場合」の数を求めて全体から引く（余事象）方が効率的な場合がある。
戦略：定義の確認「$\frac{\sqrt{ab}}{2}$ の値が有理数となる確率」の場合、$\sqrt{ab}$ が平方数（整数）になればよいと、条件を数学的に正確に言い換えられるかが鍵となる。

「見えない条件」を可視化せよ

直方体や立方体の頂点などを舞台に、線分や位置関係を問う問題である。

ここでは、「空間的な位置関係」を正確に把握する力が求められる。

線分の長さの判断： 8つの頂点から2点を選んだとき、線分の長さが $2\text{cm}$ となる組み合わせをすべてリストアップする。そのためには、三平方の定理で辺、面、空間対角線の長さを全て計算できる必要がある。
ねじれの位置の定義： 「直線 $PQ$ と直線 $CG$ が、ねじれの位置にある確率」のように、空間的な条件を問う場合、「同一平面上になく、平行でもない」という定義に当てはまる頂点の組み合わせをすべて正確にリストアップしなければならない。

頭の中だけで処理しようとするとミスが起きやすい。必ず、立体の図に書き込むか、すべての頂点間の関係性を表で整理し「可視化」しながら数え上げることが、結果的に最短ルートとなる。